Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:U_n – U_{(n – 1)} = bSebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:U_n = U_k + (n – k)bJika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:U_n = a + (n – 1)bDeret AritmatikaDeret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}atau sebagai:S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi: S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1).S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1).S_n – S_(n-1) = U_nSehingga diperoleh U_n = S_n – S_(n-1).SisipanJika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)Diketahui bahwa suku terakhir:(a + (q+1)b) = pMaka, nilai b dapat ditentukan sebagai:b = \frac{p-a}{q+1}Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:Nilai q = 3Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9Suku TengahJika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- \frac{1}{2}(n+1). Jika diselesaikan dalam rumusU_n = a + (n – 1)b, maka nilai suku tengah didapatkan:U_n = a + (n – 1)bU_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) – 1)b= a + (\frac{1}{2}n – \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n – 1)b = \frac{2a+(n – 1)b}{2} = \frac{a + a(n – 1)b}{2}U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}Barisan GeometriBaris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:\frac{U_n}{U_{(n – 1)}} = rSebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilair = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:U_n = U_k \cdot r^{(n – k)} Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:U_n = a \cdot r^{(n – 1)}Deret GeometriDeret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n – 1)} + U_nAtau sebagai:Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.comS_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n – 2)} + ar^{(n – 1)}Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:S_n = a\frac{(1 – r^n)}{(1 – r)}dengan syarat 0 < r < 1.Atau:S_n = a \frac{(r^n – 1)}{(r – 1)}dengan syarat r> 1.Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:U_n = S_n – S_{(n – 1)}SisipanJika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)Dimana suku terakhir tersebut:ar(q+1) = pSehingganilai r dapat ditentukan sebagai:r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}Deret Geometri Tak hinggaSuatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana n \rightarrow \infty, maka deret ini dapat dijumlah menjadi:S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdotsAtau sebagai :S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdotsDeret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:S_n = a \frac{(1 – r^n)}{(1 – r)}Dimana terdapat unsur r^n didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n.